2c3. Composizione dei movimenti: la colubrina
Dopo aver enunciato il principio di composizione dei movimenti così come lo trovi oggi riportato nei manuali di fisica, dimostra che la traiettoria di un oggetto lanciato in orizzontale è una parabola.
"Un corpo soggetto contemporaneamente a due o più movimenti per un determinato tempo, viene a trovarsi nella stessa posizione in cui si troverebbe se i movimenti avvenissero l'uno indipendentemente dall'altro, ciascuno per un tempo uguale a quello considerato." La traiettoria di un oggetto lanciato in orizzontale è una parabola (la dimostrazione nel punto b).
Dimostra che la traiettoria di un oggetto lanciato in direzione obliqua è una parabola.
Dimostrazione:
Sappiamo che l'equazione di una qualsiasi parabola nelle incognite x e y si scrive y=ax²+bx+c.
Supponendo di trascurare ogni forma di attrito, come accelerazione esistente dovremo considerare solamente l'accelerazione in direzione verticale di modulo costante g.
Considerando quindi la traiettoria obliqua potremo trarre le seguenti considerazoni:
• Secondo l'asse x il proiettile è soggetto ad un moto uniforme caratterizzato dalla velocità vx, componente di v secondo l'asse x
• Secondo l'asse y, il moto è uniformemente decelerato con decelerazione di modulo g e velocità iniziale vy, componente di v secondo l'asse y In formule si avrà: x=vxt y=vyt-1/2gt². Eliminando la variabile t si ottiene l'equazione della traiettoria, che è facilmente riconducibile alla forma canonica y=ax²+bx+c: y=vyx/vx-gx²/2vx² (a= g/2vx²; b=vy/ vx) (questa relazione verrà chiamata in seguito relazione 1). Se l'oggetto è lanciato orizzontalmente, la sua sarà chiaramente ancora una traiettoria parabolica: mancando infatti vy (poiché parallelo all'asse x), non avremo l'incognita b, che risulterebbe avere un numeratore uguale a zero. L'equazione quindi sarà sempre un'equazione di una parabola, ma del tipo y=ax²+c.
Determina la gittata di un proiettile nel caso in cui questo venga lanciato obliquamente con velocità di modulo v (indica con vx e vy i componenti orizzontale e verticale della velocità v).
La gittata di un proiettile (simbolo xG) si può determinare ponendo y=0 nella relazione y=vyx/vx-gx²/2vx², ricavando così la corrispondente espressione di x (=xG): gxG²/2vx²=vyxG/vx da qui: xG=2vxvy/g (relazione 2)
La quota massima di un proiettile è l'ordinata del punto più alto di una traiettoria. Determina la quota massima di un proiettile nel caso in cui questo venga lanciato obliquamente con velocità di modulo v (indicare con vx e vy i componenti orizzontale e verticale della velocità v).
La quota sarà massima quando la velocità verticale (vy) raggiunge il punto più elevato. Per il calcolo della quota massima (yMAX) si può procedere in due modi diversi:
tenendo conto della simmetria della traiettoria e quindi calcolando yMAX con la relazione 1 dove si pone x=xG/2, si ottiene:
yMAX=vyxG/2/vx -gxG/4/2vx². Sostituendo in questa espressione di xG fornita dalla relazione 2 si ottiene: yMAX= vy²/2g.
Il secondo metodo è il seguente:
tenendo conto che, in corrispondenza della quota massima, il proiettile ha una componente v'y=0 e utilizzando la relazione del moto uniformemente decelerato per la componente della velocità secondo l'asse y(v'y=vy-gt), possiamo determinare l'espressione del tempo t impiegato dal proiettile a raggiungere la quota massima: t= vy/g e quindi, sostituendo questa espressione di t nell'equazione y=vyx/vx-gx²/2vx² (considerando y=yMAX), si otterrà yMAX= vy²/2g
Partendo dalla forma della relazione y=vyx/vx-gx²/2vx², vorrei fare inoltre un'altra considerazione:
Si supponga che il lancio del proiettile 1 sia caratterizzato da una velocità di modulo v e dalle componenti vx1 e vy1. La gittata sarà xG1=2vx1vy1/g. Supponiamo ora che un proiettile 2 sia caratterizzato ancora da una velocità di modulo v ma che le componenti di tale velocità siano:
vx²=vy1 e vy²=vx1. La gittata xG2 del secondo proiettile sarà: xG2= 2vx²vy²/g=2vy1vx1/g=xG1. Dunque le gittate di due proiettili sono uguali se le componenti della loro velocità iniziale si scambiano di valore.
Dalla cima dell'albero di una barca a vela, che si muove con velocità costante, è lasciata cadere una biglia di ferro. Che traiettoria percorre secondo un marinaio A che la osserva stando sulla barca? E secondo un marinaio B fermo sul molo? Entrambi i marinai sono provvisti di un cronometro: se la velocità della barca è 20 m/s e l'altezza dell'albero 10 m, calcolare il tempo, quello misurato da A e quello misutato da B, impiegato dalla biglia per completare la sua traiettoria. Si supponga di poter trascurare gli effetti prodotti dall'attrito dell'aria. (dal testo di Bermagaschini, Marazzini, Mazzoni – La conoscenza del mondo fisico – Carlo Signorelli Editore)
In virtù dell'indipendenza dei moti, il tempo, sia per il marinaio A che per il marinaio B, è uguale. Secondo il marinaio A la traiettoria è verticale. Per B è parabolica.
Qual è il tempo?
poniamo y=-10, poichè l'altezza dell'albero è di 10 m.
Avremo
per cui avrò che t=√20/9,8=1,43 s
Uno sperone di roccia sovrasta il terreno circostante dall'altezza di 80 metri; dalla sua sommità viene lanciato un sasso con velocità orizzontale di 8 m/s.
a. Dopo quanto tempo il sasso arriva a terra?
b. Quanto vale la componente verticale della velocità nel momento di impatto con il terreno?
c. Quanto vale la velocità del sasso a terra?
(dal testo di Bermagaschini, Marazzini, Mazzoni – La conoscenza del mondo fisico – Carlo Signorelli Editore).
Risoluzione:
a. in virtù del principio di composizione dei moti, per calcolare il tempo impiegato dal sasso per arrivare a terra mi basta considerare il moto del sasso lungo la componente dell'asse delle y; applico quindi la legge oraria del moto uniformemente accelerato: s= 1/2 at² , da cui la formula inversa T=√(2y/g). Essendo y=80m si ha T=v(2*80m/9,8m/s²)= 4,04 s
b. vi lungo l'asse delle y =0, quindi v=at. Da cui: v=9,8m/s²*4,04s=39,592 m/s² (* è il segno di moltiplicazione)
c. Bisogna fare la somma vettoriale. Utilizzerò il metodo puntacoda: